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證法1：

ΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分線n交BC于D

∴ AD=BD（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等）

以DB為半徑,D為圓心畫(huà)弧,與BC在D的另一側(cè)交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等邊對(duì)等角）

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形內(nèi)角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C與C’重合（也可用垂直公理證明 ：假使C與C’不重合 由于CA⊥AB,C’A⊥AB 故過(guò)A有CA、C’A兩條直線與AB垂直 這就與垂直公理矛盾 ∴假設(shè)不成立 ∴C與C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中線且AD=BC/2這就是直角三角形斜邊上的中線定理。

證法2：

ΔABC是直角三角形,AD是BC上的中線,作AB的中點(diǎn)E,連接DE

∴BD=CB/2,DE是ΔABC的中位線

∴DE‖AC（三角形的中位線平行于第三邊）

∴∠DEB=∠CAB=90°（兩直線平行,同位角相等）

∴DE⊥AB

∴E是AB的垂直平分線

∴AD=BD（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等）

∴AD=CB/2